Auteur : Agence Universitaire de la Francophonie, Agence Française de Développement, Ministère de l’Europe des Affaires Étrangères
Site de publication: Apprendre.AUF
Type de publication : Rapport
Date de publication : 2026
Lien vers le document original
L’enseignement de la proportionnalité
La proportionnalité est un thème d’enseignement important, car cette notion permet de résoudre de nombreux problèmes et c’est un modèle qui est souvent mobilisé dans la vie courante. De plus, cette notion est enseignée dès l’école primaire et se poursuit au secondaire ou dans les thèmes mathématiques. Son étude se fait en lien avec celle des fonctions. La résolution des problèmes dits de proportionnelle nécessite la mobilisation de connaissances sur les quatre opérations, sur les fractions et les décimaux et sur l’algèbre. Enfin plusieurs registres de représentation peuvent être utilisés : celui de la langue naturelle et les registres algébriques, graphiques ou géométriques.
Le modèle proportionnel est souvent employé pour résoudre des problèmes, mais ce n’est pas le seul et il est donc important de faire comprendre aux élèves pourquoi et quand ce modèle est applicable. Par exemple, dans les problèmes de prix de vente, la modélisation par la proportionnalité relève d’un usage social et peut ne pas se vérifier dans d’autres contextes. Dans d’autres cas, la modélisation par la proportionnalité relève d’une démarche expérimentale qui s’appuie sur un relevé de mesures. Dans le cadre géométrique, on peut démontrer que certaines relations relèvent de la proportionnalité. Il est donc important, d’une part que les élèves soient confrontés à différents contextes et d’autre part de préciser pourquoi on choisit le modèle proportionnel. Il est également fondamental de faire rencontrer des situations de non-proportionnalité.
La résolution des problèmes dits de proportionnelle nécessite la mobilisation de connaissances sur les quatre opérations, sur les fractions et les décimaux et sur l’algèbre
La proportionnalité peut être travaillée dans trois cadres : celui des grandeurs, celui, numérique, des tableaux de nombres et enfin le cadre graphique avec des séries de points. Il est également important, d’une part de varier ces cadres dans les problèmes et d’autre part, de permettre aux élèves de faire des liens entre eux.
Pour le traitement des situations de proportionnalité, selon le niveau scolaire, les principales procédures, liées aux propriétés des fonctions linéaires, sont :
➜ l’utilisation du coefficient de proportionnalité ;
➜ le retour à l’unité ;
➜ l’utilisation des propriétés de linéarité ;
➜ l’utilisation de l’égalité des rapports ;
➜ l’utilisation de l’égalité des produits en croix ;
➜ l’utilisation de la représentation graphique.
Là encore, il est essentiel que ces procédures soient disponibles pour les élèves afin qu’ils puissent les mobiliser selon les données des problèmes. C’est particulièrement le cas des propriétés de linéarité qui permettent souvent de décider si le modèle proportionnel est valide.
L’enseignement des fonctions linéaires et affines
L’étude des fonctions, thème central en mathématiques, se déroule sur de nombreuses années. On peut d’ailleurs en noter les prémisses bien avant l’enseignement proprement dit préconisé par les programmes. Nous nous centrons ici sur les fonctions linéaires et affines. Leur étude se situe dans le prolongement du numérique, de l’algèbre, de la proportionnalité, du repérage dans le plan et elle se prolongera à d’autres types de fonctions, ce qui permettra l’entrée dans l’analyse. Il est donc important de bien travailler avec les élèves tous ces liens et de vérifier que les prérequis sont en place chez les élèves.
Les travaux de recherche ont distingué deux entrées pour les fonctions :
- Celle de la fonction comme processus de calcul qui, à un réel x associe un réel y Cela correspond à l’image de la boite noire.
- Celle de la covariation, c’est-à-dire une relation de dépendance entre deux grandeurs mettant en lien les variations de l’une avec l’autre.
Selon l’entrée choisie, les problèmes posés aux élèves ne seront pas les mêmes, ce qui pourra entraîner, chez les élèves, des conceptions de la notion de fonctions différentes et complémentaires. Il est donc important que ces deux entrées soient travaillées, y compris avec les fonctions linéaires et affines. Le lien avec des situations de proportionnalité et de non-proportionnalité dans des contextes de la vie courante ou des mathématiques pourra être un levier pour l’introduction des fonctions par la covariation.
Pré-algèbre et algèbre : notion d’égalité / relation d’égalité
La production a été initiée par une approche de co-construction qui vise à contextualiser des pratiques autour de l’égalité ou la relation d’égalité dans l’enseignement des mathématiques à Djibouti et en Côte d’Ivoire. Les ressources mettent en évidence et cernent des problématiques autour des situations mathématiques dans lesquelles interviennent l’égalité et la relation d’égalité, par exemple, les différents sens de la relation d’égalité, mais aussi et surtout comment les trois propriétés de la relation d’égalité s’opérationnalisent implicitement dans la construction du sens d’autres concepts. Dans ces ressources, la relation d’égalité a été traitée sous trois aspects essentiels. Le premier concerne, le choix des situations d’introduction et de réalisation justifiant l’usage et la place du signe d’égalité dans la transformation d’objet mathématique et la recherche d’expressions équivalentes. Le deuxième est en rapport avec les propriétés de la relation d’égalité qui sont utilisées de manière implicite. Les formes que prennent l’égalité et les difficultés qui y sont rattachées. Le troisième est lié au statut de leur usage en tant qu’outil, sans jamais devenir objet du savoir constitué ou institué, qui demeure un outil explicite au service d’autres concepts.
Il est donc important que ces deux entrées soient travaillées, y compris avec les fonctions linéaires et affines. Le lien avec des situations de proportionnalité et de non-proportionnalité dans des contextes de la vie courante ou des mathématiques pourra être un levier pour l’introduction des fonctions par la covariation
Présentation du thème
Le thème travaillé est la relation d’égalité. L’égalité ou la relation d’égalité ne figurent pas explicitement dans les programmes du primaire et du secondaire de plusieurs pays africains francophones. Toutefois la relation d’égalité intervient dans l’étude de plusieurs notions et concepts mathématiques. Bien que les trois propriétés soient convoquées dans le cadre des opérations arithmétiques, des décompositions et des recompositions en des expressions numériques et algébriques, ainsi que dans le traitement des équations et de leur résolution et dans le cadre des transformations, etc., elles ne sont pas évoquées explicitement en tant qu’objet d’enseignement, alors que les propriétés de la relation d’égalité sont des objets d’études et des outils explicites au cœur du développement de la pensée algébrique. En effet, s’il a été assez facile de produire une analyse conceptuelle ou une carte conceptuelle, en revanche les cartographies / continuums et les fiches pédagogiques ont nécessité des analyses approfondies afin de mieux faire ressortir le concept choisi et de le mettre en évidence dans les ressources.
Ainsi cet implicite peut donner l’impression que dans les ressources retenues dans ce chapitre les contextes et les thèmes prennent le pas sur l’égalité ou la relation d’égalité et qu’elles portent plutôt sur d’autres domaines en mathématique. Par ailleurs, la distinction entre le signe égal et la relation d’égalité n’est souvent pas faite dans l’enseignement et dans les ressources pédagogiques et didactiques, de même certains manuels confondant égalité et équation. Si le traitement des équations amène les élèves à utiliser les propriétés de la relation d’équivalence et le signe d’égalité, certains enseignants les ignorent et confondent même relation d’égalité et signe d’égalité d’une part et d’autre part égalité et équation. Ces observations et constats précédents relèveraient des significations diverses du signe « = » en lien avec les difficultés de symbolisation lors de la mise en équation ou de la mathématisation d’un problème écrit ou encore de la modélisation d’une situation-problème. Dans leurs recherches, De Champlain et al. décrivent l’égalité comme « une relation entre deux représentations d’un même objet mathématique.
Deux types de conception du signe d’égalité, celui arithmétique et celui algébrique, sont mis en évidence dans les activités. » La coexistence de ces conceptions crée des difficultés, car les élèves n’acceptent pas par exemple des équations du type 3 = 2 x + 5 ou des égalités du type 2 × 4 = 3 + 5. Fischer, Sander, Sensevy, Vilette et Richard décrivent le signe d’égalité comme un indicateur d’équivalence. À ce propos, Passaro précise que « la simple propriété de symétrie n’est pas si triviale pour des élèves du primaire qui voient le signe d’égalité comme l’indication d’un calcul à effectuer de la gauche vers la droite ».